Для группировки выражений в системе maxima используются. Основы Maxima

При вводе каждой команде и результату, как уже отмечалось выше, присваивается порядковый номер.

Используемый стиль обозначений позволяет при дальнейшей записи команд сослаться на ранее полученные результаты, например, таким образом (% o 1)*(% o 2) – результаты требуется перемножить.

Для последнего ответа в Maxima есть специальное обозначение%. А для последней команды _ (знак подчёркивания).

Пример : Вычислить значение функции в точках x = a , и вычислить .

Команда (%i1) была выполнена (появился результат %о1) и была определена функция . Поэтому следующие две команды (%i2) и (%i3) вызывали (хотя и по-разному) эту функцию, чтобы рассчитать значения в заданных точках. Из (%i4) видно, что ссылку на строку результата (%о2) можно писать и без скобок ().

Основные математические операции в Maxima обозначаются обычным образом: +, –, *, /. Возведение в степень для удобства предусмотрено записывать тремя разными способами ^, ^^, **. Знак присвоения – это двоеточие «: », команду для Maxima «а:2;» следует читать следующим образом: «переменной а присвоить число 2». В конце команды кроме точки с запятой «; » допустимо ставить знак доллара $. При наличии точки с запятой результат выводится на экран, при наличии доллара результат не выводится на экран, исключение составляют команды для вывода графиков, заканчивающиеся долларом, но выводящие на экран график.

3.1. Переменные в Максима

Переменные в Maxima могут хранить символы, аналитические выражения, определения функций, логические значения «true», «false», списки, уравнения, строки текста, заключенного в двойные кавычки, в составе которого имеются кириллические символы, и, конечно же, числа: целые, рациональные дроби, вещественные фиксированной точности и вещественные с плавающей точкой неограниченной точности типа %pi.

Из следующего примера видно, что Maxima вполне законченный математик, для неё переменная х и нечто – никому непонятный объект ″Петя″ – ничем не отличаются. Maxima

В этом примере Maxima разделила (″Петя″2–4)/(″Петя″–2) и получила ″Петя″+2. Затем из ″Петя″+2 Maxima отняла ″Петя″ и в итоге получила целое число 2.

3.2. Возможные ошибки вычислений

Из следующего примера следует, что в операциях с числами Maxima «ручается» только за 16 значащих цифр и «ничто компьютерное ей не чуждо», у неё тоже имеются чисто вычислительные проблемы (см. %о3) с округлением при вычислениях.

Дело в том, что в приведённых примерах Maxima производит вычисления не целыми числами, а с приближенными. Расчеты производятся не в десятичной системе и не путем формальной замены деления введением множителя 10 –5 . Деление производится реально в двоичной системе. Приближенные числа имеют стандартную длину, плавающую запятую. Результаты округляются так, чтобы оставались 16 значащих цифр.

В данном примере появившаяся неожиданная ″ добавка ″ незначительна и составляет всего 0,3*10 –21 .

В следующем примере она значительно больше. Но, как и в предыдущем случае, также является следствием технических возможностей компьютера при осуществлении арифметических операциях с плавающей запятой

За счет реального выполнения арифметических вычислений, результаты оказываются неточными: ответы %о3 и %о4 отличаются от нуля.

3.3. Записьуравнений

Если записанная команда содержит знак равенства, Maxima рассматривает её как уравнение, от левой и правой части которого можно отнять одну и ту же величину, и можно обе части уравнения умножить на одну и ту же величину, при умножении двух уравнений отдельно перемножаются их левые и правые части.

3.4. Неопределённая форма выражений

Выражения в Maxima могут иметь две формы: действующую и неопределённую . В тех случаях, когда выражение надо лишь отобразить, а не вычислить (неопределённая форма ) , перед ним следует поставить знак ′ (одинарная кавычка). Например, мы пожелали отобразить то самое задание, которое мы увидели первым в окне XMaxima , поэтому скопируем текст задания, добавим кавычку, и вызовем интерпретатор. Получим

откуда видим, что первый пример в окне XMaxima посвящен вычислению представленного здесь интеграла.

Однако, указанный метод не сработает, если выражение имеет явное значение, например, выражение ′ sin(π ) Maxima рассматривает как нуль и при наличии апострофа. Соответственно ′ co s(2 π ) для Maxima в точности равен единице.

С другой стороны, чтобы принудительно заставить выражение вычислить, то есть перевести его в действующую форму, следует поставить одиночную кавычку два раза (применить оператор действующей формы – ′′ ).

3.5. Вызов справки

Трудно предусмотреть многообразие возможных вариантов записи команд с целью использования Maxima для расчета или преобразования выражений. В сложных случаях можно попытаться получить справку на английском языке.

Для вызова справки следует написать? topic и вызвать интерпретатор нажатием Shift +Enter , где topic – эта ключевое слов (тема) справки.

Команда?? topic вызывает поиск по всем темам справки, содержащим ключевое слово topic .

В следующем примере мы хотели спросить про знак факториала, но не поставили пробел после знака вопроса (ошиблись). Maxima ответила, что не существует точно такой, как в запросе, (exact match ) темы.

И посоветовала попытаться (Try ) вторично (??) спросить с целью получения не вполне точного ответа. О том, что ответ был неудовлетворителен, Maxima сообщила в виде false в строке ответа (%о1).

В следующем вопросе мы также ошиблись (опять не поставили пробел), но хотели спросить про функцию cos (x ), получилось непонятно для программы и поэтому вообще никакого ответа не получили.

В случае с факториалом (!) при вторичном запросе Maxima дала исчерпывающий ответ (который мы немного сократили)

В ответе Maxima сначала создала нумерованный список ответов (в данном случае у неё два номера 0 и 1), затем предложила ввести разделённые пробелом (space - separated ) номера разделов или указать все (all ) или никакие (none ) из них. После уточнения (а ), которое она поняла как (all ), Maxima напечатала справку по запрашиваемое теме "факториал".

3.6. Ввод числовой информации

Правила ввода чисел в Maxima точно такие, как и для многих других подобных программах. Целая и дробная часть десятичных дробей разделяются символом точка . Перед отрицательными числами ставится знак минус . Числитель и знаменатель обыкновенных дробей разделяются при помощи символа / (прямой слэш ).

Обратите внимание, что если в результате выполнения операции получается некоторое символьное выражение, а необходимо получить конкретное числовое значение в виде десятичной дроби, то решить эту задачу позволит применение опции numer . В частности, опция numer позволяет перейти от обыкновенных дробей к десятичным:

Здесь Maxima прежде всего действовала по умолчанию. Она сложила дроби 3/7 и 5/3 по правилам арифметики точно: нашла и привела дроби к общему знаменателю и сложила числители. В итоге она получила 44/21. Лишь после того, как мы попросили её получить численный ответ, она вывела приближенный, с точностью 16 знаков, численный ответ 2,095238095238095.

3.7. Возведение в степень и старшинство операций

Как уже отмечалось выше, обозначения арифметических операций в Maxima не отличаются от классического представления, используются те же математические знаки: + – * /. Но возведение в степень предусмотрено обозначать тремя способами: ^ , ^^ , **.

Извлечение квадратного корня производит функция sqrt(),извлечение корня степени n записывают как степень ^^(1/n ).

В Maxima определены стандартные операции – нахождение факториала числа, (например, 6! = 1 · 2 · 3 · 4 · 5 · 6 = 120) и нахождение двойного факториала (например, 6!! =2 · 4 · 6 = 48; 7! = 1 · 3 · 5 ·7 = 105).

Для увеличения приоритета операции при записи команд для Maxima используют круглые () скобки.

Как видно из приведённых результатов вычислений (%о13)–(%iо5), Maxima правильно понимает старшинство операций: сначалавыполнила возведение в степень и только потом операцию деления. Выполняя команду (%i13), она возвела в степень 1 и разделила результат на 3, но при выполнении команды (%i14) вычислила корень третьей степени, результат (%о15) равен произведению (%о13) и (%о14).

3.8. Константы

В Maxima для удобства вычислений есть ряд встроенных констант, самые распространенные из них показаны в следующей таблице (табл. 1):

Таблица 1

Названия констант и их обозначение в Maxima

Название	Обозначение
π (число Пифагора)
e (Эйлерово число)
Мнимая единица ()
+∞ (плюс бесконечность)
– ∞ (минус бесконечность)	minf
Истина	true
Ложь	false
Комплексная бесконечность	infinity
слева (в отношении пределов)	minus
справа (в отношении пределов)	plus
Золотое сечение ()	%phi

3.9. Переменные и выражения

Для хранения результатов промежуточных расчетов используются переменные. Заметим, что при вводе названий переменных, функций и констант важен регистр букв. Так, переменные x и X – это две разные переменные.

Присваивание значения переменной осуществляется с использованием символа : (двоеточие), например x: 5.

Если необходимо удалить значение переменной (очистить ее), то применяется метод kill : kill (x ) – удаляет значение переменной x, а команда kill(all) – удаляет значения всех используемых ранее переменных. И, кроме того, метод kill начинает новую нумерацию для исполняемых команд (обратите внимание, что ответом на команду (%i3), приведенную ниже, оказался ответ с номером ноль (%o0) done , и далее нумерация команд снова началась с единицы).

Напомним также, что в одной строке (см. % i 1), можно записать несколько команд, разделяя последние символом ; (точка с запятой) или знаком $ (доллар), если нам не требуется вывод результата на монитор.

Математические операции в Maxima используются для записи выражений. Всё в Maxima является выражениями, в том числе математические выражения как таковые, а также объекты и программные блоки. Простейшее выражение представляет собой атом, либо оператор с аргументами.

Атом - символ (имя), строка в двойных кавычках, либо число (целое или с плавающей точкой). Все выражения не-атомы представляются в виде oper (a1 ,.., aN ), где oper - имя оператора, a1,..., aN - его аргументы. Выражения могут отображаться по-разному, но внутреннее представление всегда одинаково. Аргументы выражения могут быть атомами, либо выражениями не-атомами.

Команда op возвращает оператор, args возвращает аргументы, atom определяет, является ли выражение атомом.

Например :

Функция symbolp возвращает «true», если её аргумент является символом.

Функция двух аргументов freeof(,) возвращает «true», если второй её аргумент свободен (не содержит) первого аргумента.

Функция zeroequiv(,) проверяет, является ли её аргумент –функция одного аргумента – нулём. Zeroequiv возвращает «true», если её аргумент равен нулю и «false» в противном случае.

Функция zeroequiv может быть полезной в тех случаях, когда в результате ряда преобразований нет уверенности в том, что полученная функция тождественна исходной.

3.10. Математические функции

В Maxima имеется большой набор встроенных математических функций. Наиболее часто используемые приведены в табл. 2.

Таблица 2

Встроенные математические функции Maxima

Функции	Обозначение
Тригонометрические	sin (синус), cos (косинус), tan (тангенс), cot (котангенс)
Обратные тригонометрические	asin (арксинус), acos (арккосинус), atan (арктангенс), acot (арккотангенс)
Секонс, косеконс	sec (x) = 1/cos (x), (секонс ), csc (x) = 1/sin (x), (косеконс )
Натуральный логарифм	log()
квадратный корень	sqrt()
модуль	abs()
остаток от деления	mod(,)
Минимальный из списка	min(x1, ... ,xN)
Максимальный из списка	max(x1, ... ,xN)
Знак аргумента	Pos (x>0), Zero (x=0), sign(x); = neg (x<0), Pnz – (не определен)
Случайное число	random (N ) – целое, из промежутка если N –целое random (float (P )) – число с плавающей точкой

Следует иметь в виду, что некоторые названия функций отличаются от названий, используемых в отечественной литературе. В Maxima используется вместо tg – tan, вместо ctg – cot, вместо arcsin – asin, вместо arccos – acos, вместо arctg – atan, вместо arcctg – acot, вместо ln – log, вместо cosec – csc.

Примеры использования функций:

3.11. Правило записи функций

Для записи функции необходимо указать ее название, а затем, в круглых скобках записать через запятую значения аргументов. Если значением аргумента является список, то он заключается в квадратные скобки, а элементы списка также разделяются запятыми.

3.12. Пользовательские функции

Пользователь может задать собственные функции. Для этого сначала указывается название функции, в скобках перечисляются названия аргументов, после знаков := (двоеточие и равно) следует описание функции, которое может быть нематематическим. После задания пользовательская функция вызывается точно так, как и встроенные функции Maxima .

Нужно помнить, что не следует использовать для функций названия, зарезервированные для встроенных функций Maxima (записанные выше в табл. 2).

3.13. Перевод сложных выражений в линейную форму записи

Одним из самых сложных занятий для начинающих пользователей системы Maxima является запись сложных выражений, содержащих степени, дроби и другие конструкции, в линейной форме (в текстовой форме записи, при помощи ASCII символов, в одну строку).

Для облегчения данного процесса нелишне дать несколько рекомендаций:

1. Не забывайте ставить знак умножения! В графическом окне Maxima по правилам математики удвоенное значение переменной х записывает в виде 2x , но при записи команда для Maxima должна выглядеть как 2*x.

2. Но между именем функции и скобкой с аргументом знак умножения не пишется; sin *(x ) – здесь знак умножения лишний.

3. В случае сомнения всегда лучше перестараться и поставить «лишние», дополнительные скобки (). Числитель и знаменатель выражения всегда необходимо заключать в скобки. При записи возведения в степень основание и степень лучше всегда брать в скобки.

4. Функция не существует отдельно от своих аргументов (если таковые имеются). Поэтому, например, при возведении в степень функции некоторого аргумента следует взять всю функцию с аргументами в скобки, а потом уже возводить полученную конструкцию в нужную степень: (sin (x ))**2. Очень часто начинающие пользователи пытаются возвести в степень только название функции, забывая про аргументы: sin **2(x ) – это неправильно!

5. Также необходимо помнить, что несколько аргументов функции записываются в скобках, через запятую,например min (x 1, x 2, x 3, xN ).

6. Недопустима запись функции sin (2* x ) в виде sin *2* x или sin 2 x . Запомните, как действует Maxima при записи скобок: как только вы пытаетесь написать открывающую скобку, она тут же пишет вторую – парную ей – закрывающую скобку. Поэтому при записи функций напишите название функции, затем поставьте после нее пустые скобки и только потом в этих скобках напишите все ее аргументы, разделяя их запятыми. Никаких конструкций между названием функции и открывающейся скобкой быть не должно!

7. В случае записи сложного выражения разбейте его на несколько простых составляющих, введите их по отдельности, а затем объедините, используя рассмотренные ранее обозначения.

Примеры простых команд для Maxima :

Математическая запись	Команда для Maxima
	(x+2)/(y–7)
	(x+3)*(2y)
	sin((x–2)/(a+3))
	((x–2)/(a+3)+2)/(4–(y–7)/(b+4))+12*x

Упражнение: Н еобходимо ввести следующее выражение:

Указания к выполнению: Разделим это выражение на три составные части: будем отдельной частью считать числитель, выражение, стоящее в знаменателе в скобках, и степень. Введем каждую названную составную часть, и объединим их в выражение.

При вводе команд строку с ошибочной записью команды для Maxima можно выделить и удалить с графического экрана (с клавиатуры), а вместо неё написать и выполнить (с клавиатуры нажатием Shift + Enter ) правильную команду, следует ожидать, что номер ответа при этом изменится.

Если щёлкнуть мышкой в незакрашенный треугольник, то треугольник закрасится, а строка с результатом будет скрыта, при этом появится запись (1 lines hidden). Чтобы удалить с экрана и ответ, и команду (блок, отмеченный слева квадратной скобкой), следует щелчком мыши выделить квадратную скобку у пары ввод–ответ, вызвать щелчком правой кнопки мыши контекстное меню и выбрать опцию Delete Selection. Так в предыдущих примерах строки с командой (%i4) и с ответом (%o4) нет – они удалены.

Заметим также, что при записи команды для Maxima (%o1)/(%o2)**(%o3) в строке (%i5) вполне допустимо перестраховаться и написать иначе, используя дополнительные скобки для знаменателя: (%o1)/((%o2)**(%o3)). Но Maxima правильно нас поняла и без этих «лишних скобок» и вычислила вводимое выражение математически правильно, поскольку понимает принятое в математике старшинство операций : прежде всего вычисляются аргументы (так как находятся в скобках) и функции, потом выполняется возведение в степень, затем операции деление и умножение и только потом – сложение и вычитание.

by 0):
а) y :2/ x ; x :0; б) u :0; v :2/ u ; в) z :0; t :2/ Z ; и почему?
3. Что является оператором в выражениях а) x^y; б) – t; в) x + y;?

4. Что ответитMaxima, если исполнить команду: u – v; op(%);?

5. Чему равнывыражения: а) 4 * – 2; б) 4 * + 2; в) 4 ** – 2;?

6. Что является аргументами в выражении fas (p , q ) := p – q ?

7. Является ли атомом выражение abc?

8. Почему в следующих примерахMaxima сумела численно рассчитать tg(π /2) и, но отказалась делать численные вычисления для ctg(0)?

9. Какой ответ даст Maxima, если команда для неё будет такой:

10. Что больше e π или π e ?

11. На сколько процентов большее из сравниваемых чисел превышает меньшее?

12. Что ответит Maxima, если команда для неё будет такой:

Так как в этом цикле статей речь пойдет о математической программе для символьных вычислений, для начала пару слов о том, что из себя представляют эти самые символьные или, как их еще называют, аналитические вычисления, в отличие от численных расчетов. Компьютеры, как известно, оперируют с числами (целыми и с плавающей запятой). К примеру, решения уравнения x 2 = 2 x + 1 можно получить как −0.41421356 и 2.41421356, а 3 x = 1 - как 0.33333333. А ведь хотелось бы увидеть не приближенную цифровую запись, а точную величину, т. е. 1±√2 в первом случае и 1/3 во втором. С этого простейшего примера и начинается разница между численными и символьными вычислениями. Но кроме этого, есть еще задачи, которые вообще невозможно решить численно. Например, параметрические уравнения, где в виде решения нужно выразить неизвестное через параметр; или нахождение производной от функции; да практически любую достаточно общую задачу можно решить только в символьном виде. Поэтому неудивительно, что и для такого класса задач появились компьютерные программы, оперирующие уже не только числами, а почти любыми математическими объектами, от векторов до тензоров, от функций до интегро-дифференциальных уравнений и т. д.

Максима в науке и образовании

Среди математического ПО для аналитических (символьных) вычислений наиболее широко известно коммерческое (Maple , Mathematica ); это очень мощный инструмент для ученого или преподавателя, аспиранта или студента, позволяющий автоматизировать наиболее рутинную и требующую повышенного внимания часть работы, оперирующий при этом аналитической записью данных, т. е. фактически математическими формулами. Такую программу можно назвать средой программирования, с той разницей, что в качестве элементов языка программирования выступают привычные человеку математические обозначения.

Программа, которая стала темой статьи, работает на тех же принципах и предоставляет похожий функционал; самое радикальное ее отличие - то, что она не является ни коммерческой, ни закрытой. Другими словами, речь идет о свободной программе. На самом деле использование свободного ПО более естественно для фундаментальной науки, нежели коммерческого, так как модель, которая используется в свободном ПО - это модель открытости и общедоступности всех наработок. Очевидно, эти же свойства присущи и результатам научной деятельности. Используя такую схожесть подходов, можно фактически рассматривать расширения функционала свободных программ или дополнительные библиотеки, которые могут создаваться для своих нужд в процессе научных исследований, как неотъемлемую часть результатов таких исследований. И эти результаты могут использоваться и распространяться на усмотрение пользователя без оглядки на ограничения, налагаемые лицензиями исходного ПО. В случае же коммерческого ПО, которое находится в собственности его производителя, такого рода свободы значительно ограничены, начиная от невозможности свободно (и законно) передавать само такое ПО вместе с наработками и вплоть до возможных патентных исков от компании-разработчика ПО в случае распространения самодельных дополнительных библиотек к нему.

С другой стороны, основное направление, кроме научных разработок, где такие программы востребованы - это высшее образование; а использование для учебных нужд именно свободного ПО - это реальная возможность и для вуза, и для студентов и преподавателей иметь в своем распоряжении легальные копии такого ПО без больших, и даже сколь-нибудь существенных, денежных затрат.

Эта статья открывает цикл, посвященный свободной программе аналитических вычислений Maxima . Этим циклом я постараюсь дать вам наиболее полное впечатление о программе: он будет посвящен как принципам и основам работы с Maxima, так и описанию более широких ее возможностей и практическим примерам.

Немного истории

История проекта, известного ныне под именем Maxima, началась еще в конце 60-х годов в легендарном MIT (Massachusetts Institute of Technology - Массачусетский Технологический институт), когда в рамках существовавшего в те годы большого проекта MAC началась работа над программой символьных вычислений, которая получила имя Macsyma (от MAC Symbolic MAnipulation). Архитектура системы была разработана к июлю 1968 г., непосредственно программирование началось в июле 1969. в качестве языка для разработки системы был выбран Lisp, и история показала, насколько это был правильный выбор: из существующих в то время языков программирования он единственный продолжает развиваться и сейчас - спустя почти полвека после старта проекта. Принципы, положенные в основу проекта, позднее были заимствованы наиболее активно развивающимися ныне коммерческими программами - Mathematica и Maple; таким образом, Macsyma фактически стала родоначальником всего направления программ символьной математики. Естественно, Macsyma была закрытым коммерческим проектом; его финансировали государственные и частные организации, среди которых были вошедшее в историю ARPA (Advanced Research Projects Agency; помните ARPAnet - предок интернета?), Энергетический и Оборонный Департаменты США (Departments of Energy & Defence, DOE and DOD). Проект активно развивался, а организации, контролирующие его, менялись не раз, как это всегда бывает с долгоживущими закрытыми проектами. в 1982 году профессор уильям Шелтер (William Schelter) начал разрабатывать свою версию на основе этого же кода, под названием Maxima. в 1998 году Шелтеру удалось получить от DOE права на публикацию кода по лицензии GPL. Первоначальный проект Macsyma прекратил свое существование в 1999 году. Уильям Шелтер продолжал заниматься разработкой Maxima вплоть до своей смерти в 2001 году. Но, что характерно для открытого ПО, проект не умер вместе со своим автором и куратором. Сейчас проект продолжает активно развиваться, и участие в нем является лучшей визитной карточкой для математиков и программистов всего мира.

Пару слов о программе

На данный момент Maxima выпускается под две платформы: Unix-совместимые системы, т. е. Linux и *BSD, и MS Windows. Я, конечно же, буду вести речь о Linux-версии.

Сама по себе Maxima - консольная программа, и все математические формулы отрисовывает обычными текстовыми символами. В этом есть как минимум два плюса. С одной стороны, саму Maxima можно использовать как ядро, надстраивая поверх нее графические интерфейсы на любой вкус. Их на сегодняшний день существует немало; в этот раз я остановлюсь на двух самых популярных (см. врезку) - и наиболее наглядных и удобных в работе, а об остальных поговорим в следующих выпусках; они тоже по-своему интересны, хотя более специфичны.

С другой стороны, сама по себе, без каких-либо интерфейсных надстроек, Maxima нетребовательна к железу и может работать на таких компьютерах, которые сейчас и за компьютеры уже никто не считает (это может оказаться актуальным, к примеру, для вуза или научной лаборатории, у которых денег на обновление парка машин скорее всего нет, а потребность в ПО для символьных вычислений возникнуть может).

Имена функций и переменных в Максиме чувствительны к регистру, то есть прописные и строчные буквы в них различаются. Это не будет в новинку любому, кто уже имел дело с POSIX-совместимыми системами или с такими языками программирования, как, скажем, C или Perl. Удобно это и с точки зрения математика, для которого тоже привычно, что заглавными и строчными буквами могут обозначаться разные объекты (например, множества и их элементы, соответственно).

Для того, чтобы начать работать с программой, вам понадобится пакет Maxima; если в стандартных репозитариях вашего дистрибутива его не окажется, то взять его можно на сайте проекта, адрес которого приведен во врезке.

Принципы работы с программой не зависят от того, какой интерфейс к ней вы выберете, поэтому я постараюсь Максимально абстрагироваться от конкретного интерфейса, ограничиваясь лишь небольшими комментариями в тех случаях, когда они ведут себя по-разному.

На данный момент последняя версия программы - 5.9.3, именно о ней я и буду говорить; если в вашем дистрибутиве пока присутствует более старая версия, вы в принципе можете использовать ее: и актуальная еще несколько месяцев назад 5.9.2, и вышедшая в конце прошлого года 5.9.1 не имеют с нынешней принципиальных различий.

Графические интерфейсы к Максиме

С точки зрения ознакомления с самой Maxima наибольший интерес представляют два интерфейса.

Первый - это отдельная самостоятельная графическая программа по имени . Она, как и сама Maxima, помимо Linux/*BSD существует еще и в версии для MS Windows. В wxMaxima вы вводите формулы в текстовом виде, а вывод Максимы отображается графически, привычными математическими символами. Кроме того, большой упор здесь сделан на удобство ввода: командная строка отделена от окна ввода-вывода, а дополнительные кнопки и система меню позволяют вводить команды не только в текстовом, но и в диалоговом режиме. Так называемое «автодополнение» в командной строке на самом деле с таковым имеет лишь то сходство, что вызывается клавишей « Tab ». Ведет же оно себя, к сожалению, всего лишь как умная история команд, т. е. вызывает ту команду из уже введенных в этой сессии, которая начинается с заданных в командной строке символов, но не дополняет до имен команд и их параметров. Таким образом, этот интерфейс наиболее удобен в том случае, когда вам нужно много вычислять и видеть результаты на экране; и еще, возможно, в том случае, если вы не очень любите вводить все команды с клавиатуры. Кроме того, wxMaxima предоставляет удобный интерфейс к документации по системе; хотя, так как документация поставляется в формате html, вместо этого можно использовать обычный браузер.

Второй достаточно интересный интерфейс к Maxima - это дополнительный режим в редакторе . Хотя этот редактор имеет общее историческое прошлое с широко известным Emacs, что явствует из названия, но практического сходства между ними мало. TeXmacs разрабатывается для визуального редактирования текстов научной тематики, при котором вы видите на экране редактируемый текст практически в том же виде, в котором он будет распечатан. В частности, он имеет так называемый математический режим ввода, очень удобный для работы с самыми разнообразными формулами, и умеет импортировать/экспортировать текст в LaTeX и XML/HTML. Именно возможностями по работе с формулами пользуется Maxima, вызванная из TeXmacs’а. Фактически, формулы отображаются в привычной математической нотации, но при этом их можно редактировать и копировать в другие документы наподобие обыкновенного текста. Maxima-сессия вызывается из меню: «вставить → Сессия → Maxima », при этом появляется дополнительное меню с командами Максимы. После запуска сессии можно уже внутри нее перейти в математический режим ввода (меню режимов ввода вызывается первой кнопкой на панели ввода) и при вводе также использовать элементы математической нотации. Этот интерфейс будет наиболее удобен тем, кто хочет использовать результаты вычислений в своих текстах и любит редактировать их в визуальном режиме.

Приступаем к работе

После запуска Maxima-сессии мы видим перед собой такие строки:

Maxima restarted. (%i1)

Первая - это сообщение о том, что ядро Максимы только что запустилось (вместо нее, в зависимости от версии и конкретной сборки, может выводиться краткая информация о программе); вторая - приглашение к вводу первой команды. Команда в Максиме - это любая комбинация математических выражений и встроенных функций, завершенная, в простейшем случае, точкой с запятой. После ввода команды и нажатия « Enter » Maxima выведет результат и будет ожидать следующей команды:

Для арифметических действий используются традиционные обозначения: - , + , * , / ; ** или ^ для возведения в степень, sqrt() для квадратного корня.

Если для каких-то обозначений будет неочевидно, как записать их в строку, я буду пояснять это по ходу изложения.

Как видите, каждая ячейка имеет свою метку; эта метка - заключенное в скобки имя ячейки. Ячейки ввода именуются как %i с номером (i от input - ввод), ячейки вывода - как %o с соответствующим номером (o от output - вывод). Со знака % начинаются все встроенные служебные имена: чтобы, с одной стороны сделать их достаточно короткими и удобными в использовании, а с другой - избежать возможных накладок с пользовательскими именами, которые тоже часто удобно делать короткими. Благодаря такому единообразию вам не придется запоминать, как часто бывает в других системах, какие из таких коротких и удобных имен зарезервированы программой, а какие вы можете использовать для своих нужд. К примеру, внутренними именами %e и %pi обозначены общеизвестные математические постоянные; а через %c с номером обозначаются константы, используемые при интегрировании, для которых использование буквы «c» традиционно в математике.

При вводе мы можем обращаться к любой из предыдущих ячеек по ее имени, подставляя его в любые выражения. Кроме того последняя ячейка вывода обозначается через % , а последняя ячейка ввода - через _ . Это позволяет обращаться к последнему результату, не отвлекаясь на то, каков его номер.

Здесь %+47/59 - то же самое, что %o1+47/59 .

Вывод результата вычисления не всегда нужен на экране; его можно заглушить, завершив команду символом $ вместо; . Заглушенный результат при этом все равно вычисляется; как видите, в этом примере ячейки %o1 и %o2 доступны, хотя и не показаны (к ячейке %o2 обращение идет через символ % , смысл которого расшифрован выше):

Каждую следующую команду не обязательно писать с новой строки; если ввести несколько команд в одну строчку, каждой из них все равно будет соответствовать свое имя ячейки. К примеру, здесь в строке после метки %i1 введены ячейки от %i1 до %i4 ; в ячейке %i3 используются %i1 и %i2 (обозначенная как _ - предыдущий ввод):

В wxMaxima и TeXmacs последнюю или единственную команду в строке можно не снабжать завершающим символом - это сработает так же, как если бы она была завершена; , т. е. вывод заглушен не будет. В дальнейших примерах я часто буду опускать; . Если вы выберете другой интерфейс, не забывайте ее добавлять.

Помимо использования имен ячеек, мы, естественно, можем и сами давать имена любым выражениям. По-другому можно сказать, что мы присваиваем значения переменным, с той разницей, что в виде значения такой переменной может выступать любое математическое выражение. Делается это с помощью двоеточия - знак равенства оставлен уравнениям, которые, учитывая общий математический контекст записи, проще и привычнее так читаются. И к тому же, так как основной конек Максимы - символьная запись и аналитические вычисления, уравнения достаточно часто используются. Например:

В каком-то смысле двоеточие даже нагляднее в таком контексте, чем знак равенства: это можно понимать так, что мы задаем некое обозначение, а затем через двоеточие расшифровываем, что именно оно обозначает. После того, как выражение поименовано, мы в любой момент можем вызвать его по имени:

Любое имя можно очистить от присвоенного ему выражения функцией kill() , и освободить занимаемую этим выражением память. Для этого нужно просто набрать kill(name) , где name - имя уничтожаемого выражения; причем это может быть как имя, назначенное вами, так и любая ячейка ввода или вывода. Точно так же можно очистить разом всю память и освободить все имена, введя kill(all) . В этом случае очистятся в том числе и все ячейки ввода-вывода, и их нумерация опять начнется с единицы. В дальнейшем, если по контексту будет иметься в виду логическое продолжение предыдущих строк ввода-вывода, я буду продолжать нумерацию (этим приемом я уже воспользовался выше). Когда же новый «сеанс» будет никак не связан с предыдущим, буду начинать нумерацию заново; это будет косвенным указанием сделать « kill(all) », если вы будете набирать примеры в Maxima, так как имена переменных и ячеек в таких «сеансах» могут повторяться.

Доступ к документации Максимы

В примерах выше мы воспользовались двумя встроенными функциями. Как нетрудно догадаться из контекста, solve - это функция решения уравнения, а diff - функция дифференцирования. Практически весь функционал Maxima реализован через такие встроенные функции. Функция в Maxima может иметь переменное число аргументов. Например, функция solve , которую мы использовали с одним аргументом, чаще вызывается с двумя аргументами. Первый задает уравнение или функцию, чьи корни надо найти; второй - переменную, относительно которой нужно решать уравнение:

Если формула, задающая решаемое уравнение, содержит только один символ, как в предыдущем примере, то второй аргумент можно опустить, так как выбор, относительно чего нужно решать уравнение, все равно однозначен.

Вторая функция из наших новых знакомых - diff - также может принимать один аргумент; в этом случае она находит дифференциал заданного выражения:

Через del(x) и del(y) здесь обозначены дифференциалы соответствующих символов.

Для каждой встроенной функции есть описание в документации по Maxima. Оно содержит сведения о том, какие аргументы и в каких вариантах принимает функция, а также описание ее действия в разных случаях и конкретные примеры применения. Но, конечно, искать описание каждой нужной функции в html-документации или info-страницах не всегда удобно, тем более, что нужна эта информация, как правило, прямо в процессе работы. Поэтому в Maxima есть специальная функция - describe() , которая выдает информацию из документации по конкретным словам. Более того, специально для удобства получения справочной информации существует сокращенная версия вызова этой функции: ? name вместо describe(name) . Здесь? - это имя оператора, и аргумент нужно отделять от него пробелом (выражение?name используется для вызова функции Lisp с именем name). Функция describe и оператор? выдают список тех разделов помощи и имен функций, которые содержат заданный текст, после чего предлагают ввести номер того раздела или описания той функции, которые вы хотите посмотреть:

Когда вы выберете раздел, будет выдано его содержимое:

Если для слова, которое вы ввели после? или describe , найдено единственное совпадение, его описание будет показано сразу.

Кроме справки, по многим функциям Maxima есть примеры их использования. Пример можно загрузить функцией example() . Вызов этой функции без аргумента отобразит список всех имен доступных примеров; вызов вида example(name) загрузит в текущую сессию и выполнит указанный файл примера:

Решение проблемы с запуском из-под TeXmacs

Если у вас возникли проблемы с запуском Maxima-сессии из TeXmacs, обратите внимание на то, кто у вас в системе выступает под именем /bin/sh . Дело в том, что инициализация всех разнообразных сессий реализована в TeXmacs’е через shell-скрипты, вызываемые именно с помощью /bin/sh . И в скрипте, отвечающем за сессию Maxima, используется возможность, которая не стандартизирована как обязательная для /bin/sh , но присутствует в его эмуляции bash. Другими словами, если у вас /bin/sh является не ссылкой на /bin/bash , а чем-то другим, то именно это может послужить причиной невозможности открыть Maxima-сессию (к примеру, в Debian и основанных на нем дистрибутивах кроме bash ссылку /bin/sh на себя может захотеть поставить еще и более легкий dash ; в этом случае восстановить статус-кво можно с помощью dpkg-reconfigure dash). Если сделать /bin/sh ссылкой на /bin/bash не представляется возможным, можете попробовать поменять #!/bin/sh на #!/bin/bash в файле /usr/lib/texmacs/TeXmacs/bin/maxima_detect . Я написал об этой проблеме разработчикам TeXmacs, но еще не получил никакой их реакции, так что не могу пока сказать, будет ли исправлена эта недоработка в ближайших версиях.

Основные принципы

То, что Максима написана на Lisp, человеку, знакомому с этим языком, становится понятно уже в начале работы с программой. Действительно, в Максиме четко прослеживается «лисповский» принцип работы с данными, который оказывается очень кстати в контексте символьной математики и аналитических вычислений. Дело в том, что в Lisp, по большому счету, нет разделения на объекты и данные: имена переменных и выражения могут использоваться практически в одном и том же контексте. В Maxima же это свойство развито еще сильнее: фактически, мы можем использовать любой символ вне зависимости от того, присвоено ли ему какое-то выражение. По умолчанию символ, связанный с любым выражением, будет представлять это выражение; символ, не связанный ни с чем, будет представлять самого себя, трактуемого опять-таки как выражение. Поясним на примере:

Из этого следует, в частности, что в выражение автоматически подставляется значение входящего в него символа только в том случае, если это значение было приписано символу до определения выражения:

Если некоторый символ уже имеет какое-то значение, можем ли мы использовать в выражении сам этот символ, а не его значение? Конечно. Сделать это можно с помощью знака апострофа - введенный перед любым символом или выражением, он предотвращает его вычисление:

Результат выражения %i12 был бы аналогичен и в том случае, если бы b и y не имели на тот момент никаких значений; таким образом, мы можем смело блокировать вычисление символа, даже не запоминая (или не зная), присвоены ли им вообще какие-то выражения.

Точно так же можно поступить с любой встроенной функцией, если мы хотим не выполнить ее, а использовать в своем математическом контексте. Например, уже упомянутая функция дифференцирования может пригодиться нам для обозначения производной в дифференциальном уравнении; в этом случае, конечно, вычислять ее не надо:

Благодаря описанным особенностям работа в Максиме, с одной стороны, становится во многом похожей на традиционную «ручную» работу с математическими формулами, что практически сводит на нет психологический барьер в начале работы с программой. С другой стороны, даже на этом начальном этапе вы фактически избавлены от наиболее рутинной ручной работы, вроде отслеживания текущих значений символов, и можете полностью сосредоточиться на самой задаче. Конечно, блокировка вычислений - это не единственный способ влиять на то, как Максима будет вычислять то или иное выражение; этим процессом можно управлять довольно гибко.

Cвободная математика

Александр Бикмеев разбирается, насколько свободна компьютерная математика и насколько свободное ПО является математическим.

Любая наука, от физики до филологии, использует достижения математики. В связи с этим специалистам не-математикам необходимы средства, которые позволяли бы ставить задачи в математической форме и получать решения в виде формул или набора значений, то есть нужны системы компьютерной математики, способные взять на себя труд решения математических задач различными методами.

К сожалению, в нашей стране подобные программы распространены в достаточно узкой области научной деятельности, и не в последнюю очередь это обусловлено тем, что школьников и студентов не знакомят с профессиональными математическими пакетами, стоимость только одной лицензии на которые зачастую исчисляется тысячами и десятками тысяч рублей.

Мы предлагаем вам заглянуть в мир свободных математических пакетов, которые можно бесплатно загрузить из сети Интернет, использовать для любого вида изысканий (иногда с оговорками), а также, благодаря наличию исходных текстов, изучать их внутреннее устройство и, при желании, расширять их функциональность собственными силами.

Символьные вычисления

Системы компьютерной математики (СКМ) разрабатываются давно, и Maxima () была одной из первых. Изначально это был коммерческий продукт, но, не выдержав конкуренции, система перешла в разряд свободных.

Оболочка wxMaxima и пункт меню, позволяющий вывести или убрать с экрана панели математических операций.

Основное преимущество Maxima перед другими свободными системами – это поддержка символьных вычислений. То есть, введя аналитическое выражение или уравнение, вы можете получить результат также в аналитическом виде.

Maxima позволяет решать алгебраические уравнения, системы уравнений, выполнять операции интегрирования, дифференцирования, разложения в ряд и так далее. Кроме того, она умеет решать дифференциальные уравнения, граничные задачи, задачи Коши, выполнять алгебраические вычисления с матрицами, строить графики и поверхности, заданные различными функциями в декартовой и полярной системах координат. Все возможности перечислить трудно.

Для СКМ Maxima разработано несколько оболочек, наиболее удобной из которых (для начинающего пользователя) является wxMaxima (см. рис. 1). Начиная с версии 0.8.0, она стремительно меняется в лучшую сторону. Последняя версия (0.8.3) содержит черты таких известных коммерческих пакетов, как Maple и MathCAD . Работа в данной оболочке достаточно проста и позволяет получать приемлемые результаты уже через несколько минут использования. Многие операции, названия которых присутствуют в меню и на панелях инструментов, снабжены удобными мастерами, позволяющими решать задачи, даже не зная встроенного языка и команд Maxima . Ну и еще один немаловажный факт – все оболочки для данной СКМ русифицированы. Кроме того, изучив свободный пакет Maxima , обучающиеся смогут легче освоиться в коммерческих пакетах, что обусловлено как относительной схожестью интерфейса, так и используемым синтаксисом (особенно это касается Maxima и Maple ).

Система прекрасно документирована, но справочный материал представлен только на английском языке. Наш журнал публиковал учебные материалы о работе в СКМ Maxima (LXF81–86). Будучи консольным приложением, Maxima может работать в пакетном режиме, то есть ей можно передавать на обработку текстовый файл со списком команд и получать опять же текстовый файл с результатами, а если учесть, что вывод может быть оформлен средствами системы разметки TeX , то это позволяет использовать ее в качестве базы для построения собственных приложений. Одним из примеров такой разработки является расширение TeXmacs .

На основании имеющегося опыта обучения можно сказать, что студенты младших курсов осваивают работу в Maxima достаточно быстро и начинают использовать ее при выполнении заданий по другим предметам. Но с каждым курсом у них возникает все больше проблем.

Дело в том, что наряду с большим количеством положительных моментов у Maxima присутствуют и отрицательные. Во-первых, конечный результат, особенно при решении сложных задач, во многом зависит от уровня знания математики и опыта использования данной СКМ, потому как иногда требуется выполнить предварительные преобразования самостоятельно. Во-вторых, Maxima очень хорошо работает с алгебраическими выражениями, но трансцендентные, логарифмические и подобные им вызывают у нее значительные трудности. Впрочем, если нельзя получить аналитическое решение, то всегда можно воспользоваться численным расчетом. В-третьих, возможности Maxima по построению сложных графиков или визуализации, например, векторного поля, не идут ни в какое сравнение с возможностями Maple . И, наконец, в-четвертых, для полноценной работы необходимо изучить многочисленные команды и константы Maxima , а это требует времени и терпения.

СКМ Maxima входит во многие дистрибутивы Linux или, по крайней мере, обязательно присутствует в репозиториях. Она включена в состав таких образовательных продуктов, как AltLinux Школьный, Edubuntu и EduMandriva.

Окно SMath Studio , в котором определена функция, вычислена ее производная и построен график.

Следует отметить, что инженеры все-таки привыкли работать с таким мощным приложением-калькулятором, как MathCAD . Это система инженерных расчетов, доступная для любых платформ (см. Коммерческие пакеты), но за серьезные деньги. Однако работодатели требуют, чтобы выпускники умели работать в этой системе. Как же быть образовательным учреждениям?

В нашей стране родился спасительный проект: SMath Studio (http://ru.smath.info/forum/). Это бесплатный, но, к сожалению, пока не свободный продукт, разработчик которого, Андрей Ивашов, пытается создать альтернативу монстру MathCAD , и у него это получается (см. рис. 2). Приложение разработано для среды .NET , а затем адаптировано для Mono .

SMath Studio позволяет выполнять аналитические вычисления, операции с матрицами, строить графики и вычислять производные, и даже поддерживает функции программирования. К сожалению, аналитическое интегрирование пока не поддерживается, но продукт успешно развивается, и осенью 2009 г. автор заканчивает разработку инфраструктуры, которая позволит использовать сторонние подключаемые модули. Возможно, тогда развитие приложения выйдет на новый уровень, и мы получим полноценную альтернативу MathCAD .

Следует также отметить, что весной 2009 года, по соглашению с автором, продукт был включен в состав образовательного дистрибутива EduMandriva. Несмотря на ограниченную функциональность, данное приложение позволяет выполнять повседневные вычисления на уровне школьников и студентов младших курсов, а также простые инженерные расчеты. А если учесть, что SMath Studio прекрасно чувствует себя на карманных компьютерах и смартфонах, управляемых Windows Mobile, то знакомство с ним для школьников и студентов просто обязательно.

На официальном сайте всегда присутствует документация в форматах DOC и ODT, а на официальном форуме можно задать вопросы разработчику или сообществу и обсудить использованные при разработке приложения алгоритмы.

Окно wxMaxima с результатами символьных вычислений и графиком функции

В завершение данного раздела хочется заострить внимание на том, что пакеты символьной математики в качестве результата выдают выражение, а не число. Рассмотрим пример, показанный на рис. 3, в котором определена пользовательская функция и для нее найдена вторая производная; затем функция проинтегрирована. Заодно построен график. Таким образом, школьники и студенты могут наглядно выполнить полный анализ функции. И это далеко не все: Maxima умеет упрощать выражения путем раскрытия скобок, приведения подобных слагаемых, выполнения подстановок и задания некоторых условий и допущений, накладываемых на выражение. Добавьте сюда возможность символьного решения уравнений и систем уравнений, а также дифференциальных уравнений, и поймете, что современному студенту без этих инструментов не обойтись, а преподаватели естественных дисциплин могут оживить уроки и практические занятия за счет ввода интерактивных заданий или демонстрационного материала.

Численные расчеты

Как известно, не каждую задачу можно решить аналитически, то есть получить решение в виде некой формулы. Тогда на помощь приходят различные численные методы, для получения решения с некоторой точностью. Наиболее известным представителем приложений для численных расчетов является система компьютерной алгебры (СКА) Matlab .

Matlab широко распространен по всему миру (см. Сравнение в LXF109), но стоимость даже образовательных лицензий не по карману не только школам, но и многим российским вузам. За рубежом также предпочитают считать деньги – и вкладывают человеческие ресурсы в разработку свободных аналогов Matlab . Рассмотрим некоторые из них.

Прежде всего, на мой взгляд, стоит остановится на проекте GNU Oсtave (http://www.gnu.org/software/octave/). Разработчики позиционируют эту систему как «высокоуровневый язык программирования для численных расчетов». Как и многие свободные *nix-проекты с давней традицией, она предоставляет интерфейс командной строки. Введите в терминале octave – и (если, конечно GNU Octave установлена на компьютере) перед вами появится приглашение данной системы. Начните вводить команды, и в терминале будут выводится результаты вычислений.

Интерфейс командной строки имеет свои преимущества, так как он практически не отнимает вычислительных ресурсов компьютера, оставляя всю мощь процессора на сами вычисления, а не на красивое отображение текста команд и результата расчетов. И все же современный пользователь редко готов мириться с этим.

. Оболочка qtOctave с выполненными вычислениями.

Долгое время GNU Octave не имела графического интерфейса, пока, наконец, не появился qtOctave (см. рис. 4). Эта оболочка весьма напоминает интерфейс Matlab и позволяет автоматизировать выполнение некоторых рутинных операций (например, построения графиков) при помощи мастеров.

Язык системы сделан максимально схожим с языком Matlab ; следовательно, человек, освоивший GNU Octave , сможет практически без переобучения работать и в Matlab , а именно это и необходимо работодателям. Кроме того, энтузиастами движения свободного ПО для системы создано достаточное количество пакетов расширений. За счет этого функционал самой СКА постоянно растет. Ну, а наличие исчерпывающей документации (пусть и на английском языке) как для системы, так и для пакетов расширений делает данный продукт не только выгодным, но и доступным для изучения.

К минусам относится не совсем удобный интерфейс оболочки qtOctave , тем более, что версия не обновлялась с осени 2008 года (создается впечатление, что проект заброшен). Пакеты расширений не богаты функциями и не блещут графическими возможностями; кроме того, они не равнозначны, поскольку ситуация такова, что один проект разработан студентом-первокурсником, а второй, например, командой преподавателей вуза. Зато это полностью свободный проект, с которым можно не беспокоиться о лицензионной чистоте получаемых решений.

Следующий пакет, который хотелось бы рассмотреть, называется Scilab (http://www.scilab.org), само имя которого указывает на схожесть с Matlab . Изначально это был также коммерческий продукт, и назывался он Blaise , а затем Basile . Его создателей вдохновили первые версии Matlab , и некоторое время они конкурировали. Однако в начале 90‑х фирма Simulog прекратила его продажу, и тогда шесть разработчиков французского национального исследовательского института (INRIA) основали проект Scilab .

Scilab выгодно отличается от своих собратьев по цеху проработанным интерфейсом, наличием достаточно большого числа специализированных пакетов расширений, а также тем, что он поддерживается Консорциумом Scilab , в состав которого входят крупные образовательные и научные учреждения со всего мира.

Интерфейс Scilab 5

Scilab – единственная свободная система, аналогичная Matlab , имеющая свой собственный инструмент для блочного моделирования под названием Scicos . В дистрибутиве продукта имеется встроенный редактор скриптов и функций с возможностью отладки. Scilab обладает развитыми графическими возможностями для создания высокотехнологичных приложений. С функциональностью системы можно ознакомиться, рассмотрев демонстрационные примеры – некоторые из них весьма впечатляют (выберите пункты меню ? > Демонстрация возможностей ).

Scilab имеет в своем составе функции не только для выполнения всевозможных операций над матрицами, но и для построения графиков и трехмерных поверхностей в различных системах координат, функции для работы с генетическими алгоритмами, решения задач на графах, статистические функции, средства имитационного моделирования и многое другое. Ежегодно проходит несколько конференций, посвященных использованию СКА Scilab в науке, образовании и на производстве.

Во всем мире вышло несколько книг, посвященных описанию работы в Scilab , а также решению ряда специализированных задач. К сожалению, ни одна из них не была переведена на русский язык. В России вышло всего две книги, одна – в рамках национального проекта, а во второй Scilab описывается наряду с несвободными пакетами. Наш журнал также неоднократно печатал учебники о работе в Scilab (LXF106–109 и ), и все же документации пока не хватает, а справочные материалы не всегда позволяют понять, как работает та или иная функция.

Freemat - впечатляющий результат того, на что способна команда из трех единомышленников.

Выход пятой версии Scilab ознаменовал собой начало нового этапа в развитии системы. Изменился интерфейс приложения (разработчики отказались от GTK -интерфейса), начал меняться инструмент блочного моделирования Scicos , который в октябре 2009 года должен поменять свое имя на Xcos .

Еще одной вариацией на тему Matlab является Freemat (); этот пакет имеет другую немаловажную общую черту с Matlab , а именно поддержку объектно-ориентированного программирования. Интерфейс программы достаточно приятен. В основном окне реализовано автодополнение команд. На официальном сайте присутствует полное руководство по работе с системой (на английском языке). Дистрибутив программы имеет небольшой, по нынешним меркам, объем – 18 МБ.

Система позволяет выполнять численное решение уравнений и систем уравнений, как линейных, так и нелинейных, и числовую обработку сигналов (см. рис. 6); способна работать с многомерными матрицами. Основными положительными моментами Freemat , по сравнению со Scilab и Octave , являются большая совместимость внутреннего языка системы с языком Matlab и использование OpenGL для построения графиков и поверхностей, в результате чего они выглядят более качественно.

Минусами же Freemat являются низкое быстродействие (некоторые задачи решаются в разы медленнее, чем в других пакетах) и отсутствие пакетов расширений. Данная система развивается только усилиями команды из трех человек. Большого сообщества у проекта не наблюдается.

Дистанционная математика

Упомянутые выше системы представляют собой локальные проекты, то есть работа с ними ведется на одной машине. Но это бывает неудобно – например, при дистанционном обучении; кроме того, не все студенты согласятся (а иногда и смогут) поставить данные приложения на своих домашних компьютерах. В этом случае необходимы средства для удаленной работы с математическими пакетами.

SMath Studio Live : считайте, не выходя из браузера (пусть и не очень быстро).

Среди рассмотренного нами такую возможность предоставляет SMath Studio . В разделе Live официального сайта (http://smath.info/live) располагается виртуальный рабочий лист, на котором любой желающий может выполнить свои вычисления. Система очень удобна, хотя и не блещет быстродействием.

И все же более профессиональна в этом плане система SAGE (http://www.sagemath.org/). Данная система состоит из web-сервера, обеспечивающего графический интерфейс для взаимодействия с кодом Python , на котором написано ее ядро. Любой пользователь при помощи своего любимого web-браузера может подключиться к серверу, зарегистрироваться и получить в свое владение личное пространство. Оно может быть и открытым, и закрытым, то есть доступным только администратору сервера и самому владельцу. В личном пространстве могут создаваться рабочие листы, на них и выполняются все вычисления.

В рамках рабочего листа можно использовать любой доступный язык, а таких немало. По умолчанию система SAGE объединяет следующие продукты: GAP, Maxima, Python, R, LaTeX . Кроме этого, могут быть подключены Octave, Axiom, Magma, Mathematica, Matlab, Maple, Mupad и другие. В результате мы получаем единый сервер удаленной работы, позволяющий обучать любым математическим пакетам и выполнять вычисления с помощью как свободных, так и коммерческих систем компьютерной математики.

. По непонятным причинам, Sage отказывается работать в Firefox , но в остальном это удачное решение для удаленной работы.

Система прав доступа к личным пространствам и возможность совместной работы с рабочим листом сразу нескольких пользователей позволяет организовать дистанционное обучение с листом объяснения учебного материала, содержащим примеры решения задач, и листами личных заданий для каждого студента.

В настоящее время в сети существует несколько публичных SAGE -серверов – к ним можно подключиться, посмотреть листы, выложенные в общий доступ, завести свое личное пространство и, в случае трудностей, попросить помощь у сообщества. Для этого просто сделайте рабочий лист публичным. Уверяю вас: желающих помочь достаточно много, единственная проблема в том, что рабочий язык – английский.

На официальном сайте присутствуют ссылки на тестовый публичный сервер (http://www.sagenb.org), а также на учебные материалы и книги, созданные с помощью данной системы. Зарегистрируйтесь и опробуйте SAGE – может быть, это то, что вы ищете? Стоит также отметить, что у нас не получилось войти на сервер в Firefox , но в других браузерах проблем не возникло.

Итак, мы рассмотрели наиболее популярные свободные системы компьютерной математики. Можно ли их использовать в обучении и для работы – решать вам. Мы свой выбор уже сделали, и не жалеем об этом.

Коммерческие системы

Среди коммерческих систем наиболее популярны три: Matlab (численные вычисления), Maple (основной упор сделан на символьные вычисления) и Mathematica (удачно сочетает устремления первых двух). Особняком стоит мощный инженерный пакет MathCAD , поскольку это скорее большой инженерный калькулятор, и он не предназначен для решения сложных задач математической физики или теории шифрования, обработки сигналов и так далее.

Все эти пакеты имеют версии под наиболее распространенные платформы: Windows, Linux и Mac OS X. Приведем стоимость одной лицензии данных пакетов для академических учреждений, согласно прайс-листу Softline:

Matlab – 30 765 руб;
Mathematica – 9002 руб;
Maple – 36 286 руб;
MathCAD – 5290 руб.

Выводы вы можете сделать сами.

Система компьютерной математики Maxima — настоящий ветеран среди программ этого
класса. Она старше многих своих известных коммерческих собратьев по крайней мере
на два десятка лет. Первоначально носившая имя Macsyma, она была создана в конце
1960-х годов в знаменитом Массачусетском технологическом институте и почти 20
лет (с 1982 по 2001) поддерживалась Биллом Шелтером (William Schelter), благодаря
которому и приобрела свои замечательные качества и известность в научном мире.
Подробности по истории системы, инсталляционный модуль (размером всего в 10 MB),
документацию, исходный код и другую сопутствующую информацию можно найти на Web-узле
пакета .
Текущая версия (5.9.0) работает под управлением Windows и Linux.

Несмотря на скромные размеры, Maxima — высокоинтеллектуальный продукт, способный решать сложные аналитические задачи. Как и большинство систем компьютерной математики, она является командным интерпретатором, взаимодействующим с пользователем по принципу "вопрос — ответ". Поэтому рабочая область системы представляет собой последовательность ячеек ввода/вывода (рис. 1), маркированных меткой (С — для ввода пользователя, D — для результата) и номером. Такой способ обозначения обеспечивает удобный механизм ссылок, позволяющий для обращения к одному из предыдущих результатов ввести только имя нужной ячейки.

Численные операции

Рис. 1

С какими бы выражениями ни работала Maxima,
она всегда стремится к представлению результатов в точной аналитической форме.
Это в полной мере относится и к численным расчетам. Например, если ввести в командной
строке выражение 1/2+1/3 , то результатом будет 5/6 . Для того чтобы
получить значение в виде числа с плавающей точкой, необходимо указать это явно.
Простейший способ состоит в задании специального дескриптора numer через
запятую после введенного выражения.

Для расчетов с высокой точностью Maxima поддерживает специальные операторы, позволяющие вычислить любое значение с произвольной разрядной сеткой (в пределах, естественно, аппаратных возможностей). Это относится и к целым числам: их величина в системе программно не ограничена. К тому же Maxima имеет очень приличную скорость работы с арифметикой высокой точности, что дает возможность проводить вычисления с целыми числами в десятки и сотни тысяч разрядов с производительностью на уровне лучших коммерческих систем.

Отметим, что Maxima взвешенно подходит к регистру вводимых выражений. Если их вид близок к имени встроенной функции, программа использует эту функцию. Согласно данному правилу Sin , sin и SIN обозначают одно и то же. Вместе с тем пользовательские переменные и функции чувствительны к регистру — X и x могут обозначать разные объекты.

Система также поддерживает комплексную арифметику и ряд известных математических констант.

Аналитические операции

Рис. 2

Способность к сложным аналитическим операциям
и преобразованиям, безусловно, стала главной чертой продукта, обеспечившей успех
Maxima в среде специалистов. Сюда входят стандартные операции анализа (дифференцирование,
интегрирование, вычисление пределов), представление выражений в развернутой форме,
разложение функций в ряды, упрощения, преобразования, подстановки и т. п. Причем
данная функциональность достаточно гибка для проведения серьезных научных исследований.
Так, можно находить частные и обыкновенные производные любого порядка, интегралы
бывают как обыкновенными, так и кратными, в качестве границ интегрирования допускается
бесконечность и т. д. Как всегда, программа будет стремиться представить все вычисленные
значения в замкнутой (точной) форме.

В случае если для введенного выражения нельзя получить однозначный результат, программа практически на естественном (английском) языке задаст наводящие вопросы. К примеру, при попытке найти интеграл от функции x n Maxima уточнит, не равно ли n+1 нулю (как известно, от этого существенно зависит результат). Впрочем, таких вопросов можно избежать, если заранее с помощью специальных операторов указать область изменения используемых параметров и переменных.

Аналитический аппарат также поддерживает алгебраические операции с полиномами (деление двух полиномов, вычисление наибольшего общего делителя, разложение на множители) и тригонометрическими выражениями. Для практических приложений большую роль играют заложенные в систему инструменты решения уравнений и систем различных типов — алгебраических, трансцендентных и дифференциальных.

Операции линейной алгебры

В Maxima реализован весьма совершенный механизм векторно-матричных операций,
позволяющий проводить сложные алгебраические вычисления. Матрицы вводятся универсальным
оператором matrix , затем к ним применимы обычные линейные операции — сложение,
вычитание, умножение на скаляр (для их записи используют естественную математическую
нотацию вроде A+B ), а также транспонирование, обращение, вычисление определителей,
спектральных характеристик и пр.

Графические возможности

Рис. 3

Современная система компьютерной математики
универсального типа обязана обладать развитыми возможностями визуализации данных.
Имеются они и в Maxima. Графики в системе строятся с помощью двух функций — PLOT2D
(двумерные, рис. 2) и PLOT3D (трехмерные, рис. 3). Несмотря на этот относительно
небогатый выбор, названные инструменты позволяют выводить графики разных типов
на плоскости и в пространстве с достаточно тонкими настройками — посредством
специальных операторов или аргументов функций задаются количество узлов сетки,
на которой строится требуемый график, диапазоны данных, цветовые и другие характеристики.
Кроме того, можно воспользоваться интерактивными настройками для быстрого изменения
толщины линий, поворота трехмерной поверхности и т. д. Выбор форматов экспорта
Maxima весьма узок: рисунки в программе сохраняются, по сути, только в PostScript.
В целом же визуальные инструменты системы относительно скромны, хотя и дают возможность
получить качественные графики некоторых типов.

Средства программирования

Как и всякая система компьютерной математики, Maxima позволяет создавать
сложные программы и использовать их в задачах, решение которых с помощью командной
строки может оказаться сложным и неэффективным.

В самом простом случае пользовательская функция определяется прямо в командной строке

MyFunc(x,y):=x^2+y^2;

Затем MyFunc можно применять наряду со встроенными. Конечно же, система поддерживает и более сложные конструкции. В теле функции допускаются операторы ветвления, циклов, ввода/вывода и т. д. Язык программирования в Maxima имеет некоторые особенности, важнейшей из которых является то, что число аргументов функции не обязано быть фиксированным. Другая состоит в чрезвычайно гибких средствах для работы с массивами, которые редко встретишь не только в традиционных языках, но и специализированных системах, в том числе СКМ. Вот несколько примеров, заимствованных из одного руководства (двоеточие в Maxima означает присваивание):

a:4*u;
a:%PI;
a[x]:mystery;

Все операторы корректны и задают в совокупности массив, индексами которого служат числа 4 , 22/7 и строка "x" , а значениями элементов — выражение 4*u , число π (в Maxima оно записывается как %PI) и строка символов "mystery" . Таким образом, как элементом массива, так и его индексом может выступать практически любое выражение. Оригинальные свойства Maxima вовсе не ограничиваются этими особенностями (например, поддерживаются даже массивы функций), но мы не будем останавливаться на деталях.

Вообще, Maxima написана на языке Lisp и непосредственно поддерживает многие его команды. Можно сказать, что Lisp является ядром системы, и к нему допускается обращаться при "низкоуровневом" программировании. Впрочем, в большинстве случаев этого не требуется. Maxima предоставляет достаточное количество уже готовых средств, использовать которые значительно проще, чем Lisp-операторы.

При необходимости программы сохраняются во внешних файлах. Команды записываются в том же виде, в каком они вводятся в систему, имеются лишь некоторые особенности для оформления функций.

Забота о пользователе

Кроме документации, доступной на Web-узле продукта, в комплект поставки входят введение в Maxima и учебник по системе (оба в формате HTML) — детальное описание, достаточное для углубленного ознакомления со всеми ее возможностями. Однако во время сеанса работы с системой нередко необходимо получить оперативную справку. Для этого Maxima предоставляет функцию DESCRIBE() , которая выводит подробные сведения об интересующем пользователя операторе (который передается ей в качестве аргумента). Не беда, если вы не помните его полный синтаксис, введите несколько первых букв названия — и Maxima выдаст все доступные имена, начинающиеся с данной комбинации символов. Если же этих сведений окажется недостаточно, то можно воспользоваться функцией EXAMPLE() , которая предложит характерные примеры. К функциям этого же ряда принадлежит DEMO() , выполняющая программы из демонстрационных файлов, поставляемых с системой. Хотелось бы отметить такую особенность системы, как возможность представления результатов вычислений в формате TeX с помощью функции, которая так и называется — TEX() .

Выводы

Надеемся, что после этого небольшого материала у читателей все же сложилось
представление о Maxima как о действительно профессиональной системе, предназначенной
для решения сложных численных и аналитических задач, а также графического представления
данных. Особенно, как было отмечено вначале, программа сильна в аналитических
расчетах и арифметике высокой точности. Конечно, Maxima далеко не совершенна,
и по многим аспектам не дотягивает до коммерческих продуктов вроде Maple и Mathematica.
Однако это не умаляет ее достоинств — Maxima вполне можно использовать и в учебных
целях, и в качестве платформы для вполне серьезных научных разработок.